GÖDEL (PRUEBA DE)

Hasta 1931 se creyó que era posible llevar a cabo el programa de completa axiomatización de la mate­mática propugnado por David Hilbert y otros autores. Se suponía que podía hallarse un sis­tema logístico en el cual se alojara la matemá­tica (clásica), y que podía probarse que tal sis­tema era completo y consistente. Kurt Gödel echó por tierra semejante suposición. Mostró que, dado un sistema logístico razonablemente rico (el sis­tema de los Principia mathematica o el siste­ma axiomático de los conjuntos elaborado por Zermelo, Fraenkel y J. von Neumann), tal sis­tema es esencialmente incompleto, por apare­cer cuando menos un enunciado o teorema que no es decidible en el sistema.

Con el fin de realizar su propósito, Gödel se valió de lo que se ha calificado de aritmetización de la sintaxis. Consiste en correlacionar cada uno de los signos de un cálculo dado con números de la aritmética na­tural elemental. Así, tenemos las